Задача 60478

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9 Название задачи: Числа Ферма.

Условие

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число  aⁿ + 1  простое, то a чётно и  n = 2^k.
(Числа вида  f_k = 2^2k + 1  называются числами Ферма.)

Решение

Если a нечётно, то  aⁿ + 1  чётно. Запишем n в виде  n = 2^km,  где m нечётно. Если  m > 1,  то  aⁿ + 1  делится на  a^2k + 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	1
Название	Простые числа
Тема	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители
задача
Номер	03.026