Задача 60482

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

Решение

Пусть такой многочлен нашёлся. Тогда его свободный член  p = P(0)  – простое число. Подставляя в формулу многочлена P(x) числа  x_j = p^j  (j = 1, 2, ...),  получаем, что P(x_j) делится на p. Следовательно,  P(x_j) = p,  и многочлен P(x) принимает одно и то же значение в бесконечном числе точек. Противоречие.

Замечания

Ср. с задачей 35143.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	1
Название	Простые числа
Тема	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители
задача
Номер	03.030