Задача 60547

Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11 Название задачи: Теорема Эйлера.

Условие

Докажите, что если n – чётное совершенное число, то оно имеет вид  n = 2^k–1(2^k – 1),  и  p = 2^k – 1  – простое число Мерсенна.

Решение

  Представим n в виде  n = 2^k–1b,  где b – нечётное число,  k ≥ 2.  Тогда  2^kb = 2n = σ(n) = σ(2^k–1)σ(b) = (2^k – 1)σ(b).
  Отсюда  b = (2^k – 1)c,  σ(b) = 2^kc = b + c.
  Если  c ≠ 1,  то у числа b существует по крайней мере три положительных делителя: b, c и 1. В этом случае  σ(b) ≥ 1 + b + c,  что противоречит равенству  σ(b) = b + c.
  Поэтому  c = 1,   σ(b) = b + 1,  то есть  b = 2^k – 1  – простое число. Согласно задаче 60481 это возможно только при простых значениях показателя k. Таким образом, n имеет вид  2^p–1(2^p – 1),  где p и  b = 2^p – 1  – простые числа.

Замечания

1. Первые простые числа Мерсенна  p = 3, 7, 31, 127  (при k = 2, 3, 5, 7)  дают совершенные числа  n = 6, 28, 496, 8128.

2. Проблема существования нечётных совершенных чисел до сих пор не решена.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	3
Название	Мультипликативные функции
Тема	Неопределено
задача
Номер	03.095