Задача 60550

Тема:    [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10 Название задачи: Задача Ферма.

Условие

Найдите наименьшее число вида  n = 2^αpq,  где p и q – некоторые нечётные простые числа, для которого  σ(n) = 3n.

Решение

  Заметим, что  σ(120) = 360 = 3·120.
  Пусть  p < q  и  n = 2^αpq < 120.  Тогда  p ≥ 3,  q ≥ 5,  pq ≥ 15,  значит,  α < 3.
  3·2^αpq = σ(n) = (2^α+1 – 1)(p + 1)(q + 1),  следовательно,  2^α+1 – 1  делится на q.
  2² – 1  делится только на 3, а  2³ – 1  – только на 7. Поэтому  α = 2,  q = 7,  p = 3 или 5.  Но  4·5·7 > 120,  а  σ(4·3·7) = 7·4·8  не делится на 3.

Ответ

n = 120.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	3
Название	Мультипликативные функции
Тема	Неопределено
задача
Номер	03.098