Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90⁰. Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным 2^1/2, один из которых содержит M, а другой - содержится в M.

   Решение

Найти наименьшее n такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения n треугольников. Докажите, что для меньших n это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.

   Решение

Ортогональной проекцией равнобедренного прямоугольного треугольника на плоскость α является правильный треугольник. Найдите угол, образованный гипотенузой данного треугольника с плоскостью α .

   Решение

На плоскости дано конечное множество $S$ точек, окрашенных в красный и зеленый цвета. Назовем множество разделимым, если для него найдется такой треугольник, что все точки одного цвета лежат строго внутри, а все точки другого – строго вне треугольника. Известно, что любые 1000 точек из $S$ образуют разделимое множество. Обязательно ли все множество $S$ разделимо?

   Решение

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что число p входит в разложение n! с показателем, не превосходящим  

Подсказка

Отбросьте знак целой части в формуле Лежандра (см. задачу 60553) и дополните сумму до бесконечной геометрической прогрессии.

Источники и прецеденты использования