Задача 60566

Тема:    [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Докажите, что при n 1 и m 0 выполняется равенство

F_{n + m} = F_{n - 1}F_m + F_nF_{m + 1}.

Попробуйте доказать его двумя способами: при помощи метода математической индукции и при помощи интерпретации чисел Фибоначчи из задачи 3.109. Докажите также, что тождество Кассини (см. задачу 3.112) является частным случаем этого равенства.

Подсказка

Разбейте все пути кузнечика на две группы: проходящие и не проходящие через n-ую клетку.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	4
Название	О том, как размножаются кролики
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	03.114