Задача 60582

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Вычислите сумму:  

Подсказка

Так же как в задаче 60581, проверяется,что  S₀ = S₁ = 1,  S_n = S_n–1 – S_n–2  при  n ≥ 3.

Ответ

S_n = 0,  если  n ≡ 2, 5 (mod 6);  S_n = 1,  если n ≡ 0, 1 (mod 6);  S_n = – 1,  если  n ≡ 3, 4 (mod 6).

Замечания

Более коротко ответ можно записать так:   S_n =  sin.
Причину этого см. в задаче 61483.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	4
Название	О том, как размножаются кролики
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	03.130