Задача 60596

Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Пусть     Чему равны P_n и Q_n?

Решение

Заметим, что     то есть  P_n+1 = Q_n,  Q_n+1 = P_n + Q_n.  Значит,  P_n+2 = Q_n+1 = P_n + Q_n = P_n + P_n+1.  Так как
^P₁/_Q1 = 1,  ^P₂/_Q2 = 2,  то  P₁ = 1,  P₂ = 2,  и последовательность P_n совпадает с последовательностью F_n+1 чисел Фибоначчи.

Ответ

P_n = F_n+1,  Q_n = F_n .

Замечания

Соседние числа Фибоначчи взаимно просты (см. задачу 60574), поэтому приравнивание числителей и знаменателей равных дробей было правомочным.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	5
Название	Цепные дроби
Тема	Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер	03.144