Задача 60602

Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите следующие свойства подходящих дробей:
  а)  P_kQ_k–2 – P_k–2Q_k = (–1)^ka_k  (k ≥ 2);
  б)   – =   (k ≥ 1);
  в)  Q₁ < Q₂ < ... < Q_n;
  г)   < < < ... ≤ ≤ ... < < < ;

  д)   <   (k, l ≥ 0).

Подсказка

  а) Следует из определения последовательностей {P_k}, {Q_k} (см. задачу 60601) и п. б. задачи 60601.
  б) Эквивалентно задаче 60601 б).
  в) Следует из определения последовательности {Q_k}.
  г) Следует из б) и в).
  д) Следует из г).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	5
Название	Цепные дроби
Тема	Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер	03.150