Задача 60645

Темы:    [ Инварианты ] [ Таблицы и турниры (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Условие

Автор: Ивлев Б.М.

В клетках квадратной таблицы 4×4 расставлены знаки  +  и  – ,   как показано на рисунке.

Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, можно менять знак в любой угловой клетке). Докажите, что, сколько бы мы ни производили таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.

Подсказка

Не обращайте внимания на угловые и центральные клетки.

Решение

Отметим в таблице 8 клеток (см. рис.).

Каждая строка и каждый столбец содержат по 2 отмеченных клетки, каждая диагональ – по 0 или 2. Поэтому чётность количества минусов в отмеченных клетках не меняется. Следовательно, минусов в этих клетках всегда будет нечётное число.

Замечания

Задача предлагалась также на 2-й Всесоюзной математической олимпиаде (1968 г., устный тур, зад. 3).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	1
Название	Четность
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	04.019