ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60645
Темы:    [ Инварианты ]
[ Таблицы и турниры (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ивлев Б.М.

В клетках квадратной таблицы 4×4 расставлены знаки  +  и  – ,   как показано на рисунке.

Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, можно менять знак в любой угловой клетке). Докажите, что, сколько бы мы ни производили таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.


Подсказка

Не обращайте внимания на угловые и центральные клетки.


Решение

Отметим в таблице 8 клеток (см. рис.).

Каждая строка и каждый столбец содержат по 2 отмеченных клетки, каждая диагональ – по 0 или 2. Поэтому чётность количества минусов в отмеченных клетках не меняется. Следовательно, минусов в этих клетках всегда будет нечётное число.

Замечания

Задача предлагалась также на 2-й Всесоюзной математической олимпиаде (1968 г., устный тур, зад. 3).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 1
Название Четность
Тема Четность и нечетность
задача
Номер 04.019

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .