Задача 60662

Темы:    [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что числа от 1 до 2001 включительно нельзя выписать подряд в некотором порядке так, чтобы полученное число было точным кубом.

Подсказка

Рассмотрите остаток, который такое число будет давать при делении на 9.

Решение

Полученное число при делении на 9 даст тот же остаток, что и сумма всех чисел от 1 до 2001. Сумма любых девяти последовательных чисел делится на 9. Значит, полученное число сравнимо с  1999 + 2000 + 2001 ≡ 3 (mod 9).  Но, как известно, кубы при делении на 9 дают только остатки 0, 1 и 8.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.036