Задача 60665

Темы:    [ Подсчет двумя способами ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9,10

Условие

Имеется много одинаковых квадратов. В вершинах каждого из них в произвольном порядке написаны числа 1, 2, 3 и 4. Квадраты сложили в стопку и написали сумму чисел, попавших в каждый из четырёх углов стопки. Может ли оказаться так, что
  а) в каждом углу стопки сумма равна 2004?
  б) в каждом углу стопки сумма равна 2005?

Решение

а) Сумма всех чисел должна делиться на  1 + 2 + 3 + 4 = 10.  Но 2004·4 не делится на 10.

б) Можно взять 401 пару квадратов с таким расположением чисел  (1, 2, 3, 4)  и  (4, 3, 2, 1).

Ответ

а) Не может;  б) может.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.039