Задача 60670

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

а) Докажите, что если p — простое число и  2 ≤ k ≤ p – 2,  то    делится на p.

б) Верно ли обратное утверждение?

Решение

  а) При  k > p – k + 1  (2k > p + 1)  оба биномиальных коэффициента равны нулю, а при  2k = p + 1  – единице. Поэтому далее считаем, что  2k ≤ p.

Числитель кратен p, а ни один из множителей знаменателя не делится на p.

  б) Пусть p – составное число и q – один из его простых делителей. Тогда

В числителе нет множителей, кратных q, а в знаменателе – есть. Следовательно, это число – не целое, то есть    не делится на p.

Ответ

б) Верно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.044