Задача 60672

Темы:    [ Инварианты ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49 камней, а в третьей – 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

Решение

На первом шаге разделить кучку нельзя. Если мы мы объединим две первых кучки, то дальше в любой из получающихся кучек количество камней будет кратно 5. В дальнейшем это свойство сохранится. Если мы объединим первую и третью кучки, то в дальнейшем число камней в каждой кучке будет кратно 7, а если объединим две последние кучки, то в дальнейшем число камней в каждой кучке будет кратно 3.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.046