Задача 60674

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что среди любых десяти последовательных натуральных чисел найдётся число, взаимно простое с остальными.

Решение

Наибольший общий делитель двух из десяти последовательных чисел не превосходит 9. Покажем, что среди 10 последовательных чисел найдётся такое, которое не делится на числа 2, 3, 5, 7. Оно и будет удовлетворять условию задачи. Действительно, среди этих чисел пять делятся на 2. Среди оставшихся чисел не более двух делятся на 3, и не более одного – на 5 и 7. Таким образом исключается не более 9 чисел.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.048