ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60706
Тема:    [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все такие целые числа x, что  x ≡ 3 (mod 7),  x² ≡ 44 (mod 7²),  x³ ≡ 111 (mod 7³).


Решение

  x = 7m + 3,  x² ≡ 49m² + 42m + 9 ≡ 42m + 9 ≡ 44 (mod 7²),  значит,  6m ≡ 5 ≡ 12 (mod 7),  то есть  m ≡ 2 (mod 7).  x = 7(7n + 2) + 3 = 49n + 17.
  x³ ≡ 3·17·49n + 17³ ≡ 111 (mod 7³),  значит,  51n ≡ 0 (mod 7),  то есть  n = 7k.


Ответ

x ≡ 17 (mod 343).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 3
Название Сравнения
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер 04.080

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .