Задача 60706

Тема:    [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Найдите все такие целые числа x, что  x ≡ 3 (mod 7),  x² ≡ 44 (mod 7²),  x³ ≡ 111 (mod 7³).

Решение

  x = 7m + 3,  x² ≡ 49m² + 42m + 9 ≡ 42m + 9 ≡ 44 (mod 7²),  значит,  6m ≡ 5 ≡ 12 (mod 7),  то есть  m ≡ 2 (mod 7).  x = 7(7n + 2) + 3 = 49n + 17.
  x³ ≡ 3·17·49n + 17³ ≡ 111 (mod 7³),  значит,  51n ≡ 0 (mod 7),  то есть  n = 7k.

Ответ

x ≡ 17 (mod 343).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.080