Задача 60708

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите справедливость следующих сравнений:
  а)  1 + 2 + 3 + ... + 12 ≡ 1 + 2 + 2² + ... + 2¹¹ (mod 13);
  б)  1² + 2² + 3² + ... + 12² ≡ 1 + 4 + 4² + ... + 4¹¹ (mod 13).

Решение

а)  1 + 2 + 3 + ... + 12 = (1 + 12) + (2 + 11) + ... ≡ 0 (mod 13),  1 + 2 + 2² + ... + 2¹¹ = 2¹² – 1 ≡ 0 (mod 13).

б)  1² + 2² + 3² + ... + 12² = ^12·13·25/₆ = 2·13·25 ≡ 0 (mod 13),  1 + 4 + 4² + ... + 4¹¹ = ¹/₃ (4¹² – 1) ≡ 0 (mod 13).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.082