Задача 60716

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Найдите все такие пары чисел вида 1xy2 и x12y, что оба числа делятся на 7.

Решение

0 ≡ 1000 + 100x + 10y + 2 ≡ –1 + 23x + 33y + 2 = 2x + 3y + 1 (mod 7).
0 ≡ 1000x + 120 + y ≡ – x + 1 + y (mod 7).   Значит,
0 ≡ 2x + 3y + 1 + 2(– x + 1 + y) = 5y + 3 (mod 7),  откуда  y ≡ 5 (mod 7).  Аналогично
0 ≡ 2x + 3y + 1 – 3(– x + 1 + y) = 5x – 2 (mod 7),  откуда  x ≡ 6 (mod 7).

Ответ

1652 и 6125.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.090