Задача 60738

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Для каких n число  n²⁰⁰¹ – n⁴  делится на 11?

Решение

Согласно малой теореме Ферма  n²⁰⁰¹ – n⁴ ≡ n – n⁴ = n(1 – n)(n² + n + 1) (mod 11).  n² + n + 1 ≡ n² – 10n + 25 – 2 = (n – 5)² – 2 (mod 11).  Перебор остатков показывает, что квадрат не может давать остатка 2 при делении на 11.

Ответ

Для  n ≡ 0, 1 (mod 11).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.112