ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60740
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором  ak ≡ 1 (mod p).  Докажите, что  p – 1  делится на k.


Решение

Пусть  p – 1 = qk + r,  где  0 ≤ r < k.  1 ≡ ap–1ar (mod p).  По условию число r – не натуральное, то есть  r = 0,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 4
Название Теоремы Ферма и Эйлера
Тема Малая теорема Ферма
задача
Номер 04.114

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .