Задача 60748

Тема:    [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Пусть p – простое число,  p > 2.  Докажите, что любой простой делитель числа  2^p – 1  имеет вид  2kp + 1.

Решение

Пусть q – простой делитель числа  2^p – 1.  Тогда  2^p – 1 ≡ 0 (mod q)  и  2^q–1 – 1 ≡ 0 (mod q)  (второе из них – малая теорема Ферма). Согласно задаче
60507 а)  2^(q–1,p) – 1  тоже делится на q. Следовательно,  (q – 1, p) ≠ 1,  а значит,  (q – 1, p) = p,  то есть  q – 1  делится на p. Поскольку  q – 1  чётно, а p нечётно, то  q – 1  делится на 2p, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.122