Задача 60750

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что при любом простом  p     делится на p.

Решение

  При  p = 2 или 5  указанное число делится на 10, так как окачивается нулём.
  При  p = 3  указанное число делится на 3 как разность двух чисел, кратных 3.
  Пусть  p > 5.  По малой теореме Ферма число     делится на p. Значит,     делится на p, а    .   Кроме того,
10^p ≡ 10 (mod p).  Следовательно,  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.124
книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	100
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1972
выпуск
Номер	11
Задача
Номер	М172