Можно ли в квадрате 10*10 расставить 12 кораблей 1*4 (для игры типа "морской бой") так, чтобы корабли не соприкасались друг с другом (даже вершинами)?

   Решение

Темы:    [ Теорема Эйлера ] [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11 Название задачи: Теорема Эйлера.

Прислать комментарий

Условие

Теорема Эйлера. Пусть  m ≥ 1  и  (a, m) = 1.  Тогда  a^φ(m) ≡ 1 (mod m).
Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма
  а) в случае, когда  m = pⁿ;
  б) в общем случае.

Решение

  а)  φ(pⁿ) = (p – 1)p^n–1.  Согласно малой теореме Ферма  a^p–1 = 1 + kp.  Следовательно,

  ...,  

  б) Пусть    Как известно,    Согласно а)    Поскольку числа    взаимно просты,
a^φ(m) ≡ 1 (mod m).

Источники и прецеденты использования