ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60779
Темы:    [ Теорема Эйлера ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
Название задачи: Теорема Эйлера.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Теорема Эйлера. Пусть  m ≥ 1  и  (a, m) = 1.  Тогда  aφ(m) ≡ 1 (mod m).
Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма
  а) в случае, когда  m = pn;
  б) в общем случае.


Решение

  а)  φ(pn) = (p – 1)pn–1.  Согласно малой теореме Ферма  ap–1 = 1 + kp.  Следовательно,

  ...,  

  б) Пусть    Как известно,    Согласно а)    Поскольку числа    взаимно просты,
aφ(m) ≡ 1 (mod m).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 4
Название Теоремы Ферма и Эйлера
Тема Малая теорема Ферма
задача
Номер 04.153

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .