Задача 60787

Темы:    [ Теорема Эйлера ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Найдите все целые числа a, для которых число  a¹⁰ + 1  делится на 10.

Решение

Очевидно, что подходят только числа, для которых  (a, 10) = 1.  Так как  φ(10) = 4,  то сравнение   a¹⁰ + 1 ≡ 0 (mod 10)  равносильно сравнению  a² + 1 ≡ 0 (mod 10).  Перебирая случаи  a = ±1,  a = ±3,  находим, что  a ≡ ±3 (mod 10).

Ответ

a ≡ ±3 (mod 10).

Замечания

Знать теорему Эйлера необязательно. Достаточно заметить, что квадраты чисел, взаимно простых с 10, оканчиваются на 1 или 9, то есть
a² ≡ ±1 (mod 10).  Поэтому  a¹⁰ = (a²)⁵ ≡ a² (mod 10).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.161