Задача 60796

Тема:    [ Признаки делимости (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что число 192021...7980 делится на 1980.

Подсказка

Для проверки делимости на 9 и 11 можно рассмотреть сумму данного числа с числом 8079...2019.

Решение

1980 = 20·9·11.  То, что данное число делится на 20, очевидно. Заметим, что данное число при делении на 9 (11) даёт тот же остаток, что и число 8079...2019. Но сумма этих чисел равна 9...9 (при этом число девяток чётно), то есть делится на 99. Следовательно, и каждое из слагаемых делится на 99.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	5
Название	Признаки делимости
Тема	Признаки делимости (прочее)
задача
Номер	04.170