Задача 60806

Темы:    [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что в записи числа 2³⁰ есть по крайней мере две одинаковые цифры, не вычисляя его.

Подсказка

Примените признак делимости на 3.

Решение

2³⁰ = (1024)³ > 10⁹.  С другой стороны,  (1024)³ < (2000)³ = 8·10⁹.  Значит, число 2³⁰ – десятизначное. Далее см. решение задачи 78742.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	5
Название	Признаки делимости
Тема	Признаки делимости (прочее)
задача
Номер	04.180