Задача 60815

Темы:    [ Признаки делимости (прочее) ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11 Название задачи: Признак делимости Паскаля.

Условие

Пусть запись числа N в десятичной системе счисления имеет вид   a_na_n–1...a₁a₀ ,   r_i – остаток от деления числа 10ⁱ на m  (i = 0, ..., n).
Докажите, что число N делится на m тогда и только тогда, когда число  M = a_nr_n + a_n–1r_n–1 + ... + a₁r₁ + a₀ делится на m.

Решение

Так как  10^ja_j ≡ a_jr_j (mod m),  то  M ≡ N (mod m).

Замечания

Иногда в качестве r_i удобнее брать не остаток, а "недостаток", то есть такое наибольшее неположительное число, что  10ⁱ ≡ r_i (mod m).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	5
Название	Признаки делимости
Тема	Признаки делимости (прочее)
задача
Номер	04.189