Задача 60819

Темы:    [ Признаки делимости (прочее) ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что если необходимый и достаточный признак делимости, выражающийся через свойства цифр числа, не зависит от порядка цифр, то это признак делимости на 3 или на 9.

Решение

  Пусть это признак делимости на n. Ясно, что n – не степень десятки. Если  10^k < n < 10^k+1,  то одно из чисел 2n, ..., 9n начинается с 1. Переставив эту единицу в конец числа и на первое место ненулевую цифру, мы должны получить число, кратное n. Следовательно, n не делится ни на 2, ни на 5.
  Согласно задаче 60514 уравнение  100x – ny = 12  имеет решение в натуральных числах. Это значит, что некоторое число вида ...12 делится на n. Поменяв местами последние две цифры получим, что  21 – 12 = 9  делится на n.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	5
Название	Признаки делимости
Тема	Признаки делимости (прочее)
задача
Номер	04.193