Задача 60820

Темы:    [ Китайская теорема об остатках ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

При каких целых n число  n² + 3n + 1  делится на 55?

Подсказка

Исследуйте отдельно делимость на 5 и на 11.

Решение

  n² + 3n + 1 ≡ n² – 2n + 1 = (n – 1)² (mod 5);
  n² + 3n + 1 ≡ n² – 8n + 16 – 4 = (n – 4)² – 2² = (n – 6)(n – 2) (mod 11).
  Таким образом, нас интересуют числа n, удовлетворяющие системе  n ≡ 1 (mod 5),  n ≡ 2 или 6 (mod 11).

Ответ

n ≡ 6 (mod 55),  n ≡ 46 (mod 55).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	6
Название	Китайская теорема об остатках
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.194