|
|
 |
Условие
Найдите такое наименьшее чётное натуральное число a, что a + 1 делится на 3, a + 2 – на 5, a + 3 – на 7, a + 4 – на 11, a + 5 – на 13.
Решение
Сначала найдём, какие числа удовлетворяют первым двум условиям: a чётно и a + 1 делится на 3. Наименьшее такое число – 2. Значит, этим условиям удовлетворяют числа вида 6k + 2 (НОД(2, 3) = 6).
Добавим третье условие: ищем числа вида 6k + 4, которые делятся на 5. Наименьшее такое число – 10, значит, трём условиям удовлетворяют числа вида 30l + 8.
Ищем число вида 30l + 11, которое делится на 7. Тогда на 7 делится и число 2l – 3. Наименьшее l равно 5, значит, четырём условиям удовлетворяют числа вида 210m + 161 – 3 = 210m + 158.
Ищем число вида 210m + 162, которое делится на 11. Тогда на 7 делится и число m + 8. Наименьшее m равно 3, значит, пяти условиям удовлетворяют числа вида 2310n + 788.
Число 788 удовлетворяет и последнему условию: 793 делится на 13.
Ответ
788.
Замечания
Наименьшее нечётное число с теми же свойствами равно 788 + НОД(3, 5, 7, 11, 13) = 15803.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 4 |
| Название | Арифметика остатков |
| Тема | Деление с остатком. Арифметика остатков |
| параграф | |
| Номер | 6 |
| Название | Китайская теорема об остатках |
| Тема | Деление с остатком. Арифметика остатков |
| задача | |
| Номер | 04.204 |
