Задача 60833

Темы:    [ Обыкновенные дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Предположим, что числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что любую правильную дробь вида     можно представить в виде алгебраической суммы правильных дробей вида ^n_i/_mi  (i = 1, ..., n).

Решение

  Индукция по n.
  База  (n = 2).  Согласно задаче 60489 уравнение  m₁x + m₂y = c  имеет решения в целых числах. Тогда    
  Шаг индукции. Поскольку m₁m₂...m_n–1 и m_n взаимно просты, то, как показано выше,     По предположению индукции  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	6
Название	Китайская теорема об остатках
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.207