|
|
 |
Условие
Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.
Подсказка
Рассмотрите отдельно те цифры, которые встречаются конечное число раз и те, которые встречаются бесконечно много раз.
Решение
Дробь выражает рациональное число в том и только случае, когда она периодическая, начиная с некоторого знака. Цифры от 0 до 9 разделим на два класса: в первый класс включим те цифры, которые встречаются в исходной дроби конечное число раз, во второй класс – те, которые встречаются в исходной дроби бесконечное число раз. Начнем выписывать периодическую дробь, которая может быть получена из исходной перестановкой цифр. Вначале после нуля и запятой напишем в произвольном порядке все цифры из первого класса – каждую столько раз, сколько она встречается в записи исходной дроби. Записанные цифры первого класса будут являться предпериодом дроби. Далее запишем в некотором порядке по одному разу цифры из второго класса. Эту комбинацию объявим периодом и будем повторять её бесконечное число раз. Таким образом, мы выпишем искомую периодическую дробь.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача | |
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 5 |
| Название | Числа, дроби, системы счисления |
| Тема | Системы счисления |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Рациональные и иррациональные числа |
| Тема | Дроби |
| задача | |
| Номер | 05.008 |
