Задача 60853

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что уравнение  x³ + x²y + y³ = 0  не имеет рациональных решений, кроме  (0, 0).

Решение

Если  (x, y)  – решение данного уравнения, то  (tx, ty)  – тоже решение. Поэтому, если уравнение имеет нетривиальное рациональное решение, то оно имеет и нетривиальное целое решение. Пусть  (x₀, y₀)  – такое решение. Если  d = НОД(x₀, y₀),  то  (x₁, y₁) = (^x₀/_d, ^y₀/_d)  – тоже решение. Так как числа x₁ и y₁ взаимно просты, то хотя бы одно из них нечётно. Но тогда, подставляя x₁ и y₁ в уравнение, мы получим слева нечётное число. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	1
Название	Рациональные и иррациональные числа
Тема	Дроби
задача
Номер	05.015