Задача 60855

Темы:    [ Квадратные уравнения. Формула корней ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Один из корней уравнения  x² + ax + b = 0  равен  1 + .  Найдите a и b, если известно, что они рациональны.

Решение 1

Подставляя в уравнение  x = 1 + ,  приходим к равенству  (4 + a + b) + (a + 2) = 0.  Так как    – иррациональное число, то такое равенство возможно лишь когда  4 + a + b = 0  и  a + 2 = 0.

Решение 2

Вторым корнем этого уравнения является сопряженное число  1 –   (см. решение задачи 60624). Поэтому  – a = (1 + ) + (1 – ) = 2,
b = (1 + )(1 – ) = – 2.

Ответ

a = b = – 2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	1
Название	Рациональные и иррациональные числа
Тема	Дроби
задача
Номер	05.017