ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60856
Темы:    [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b, c — различные простые числа. Докажите, что числа $ \sqrt{a}$, $ \sqrt{b}$, $ \sqrt{c}$ не могут быть членами одной арифметической прогрессии.


Решение

Если числа $ \sqrt{a}$, $ \sqrt{b}$, $ \sqrt{c}$ являются членами одной арифметической прогрессии, то для некоторых целых p и q будет выполняться равенство q($ \sqrt{b}$ - $ \sqrt{a}$) = p($ \sqrt{c}$ - $ \sqrt{b}$) или $ \sqrt{b}$(p + q) = p$ \sqrt{c}$ + q$ \sqrt{a}$. После возведения последнего равенства в квадрат получаем, что $ \sqrt{ac}$ — рациональное число. Но это невозможно, поскольку a и c — различные простые числа.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 5
Название Числа, дроби, системы счисления
Тема Системы счисления
параграф
Номер 1
Название Рациональные и иррациональные числа
Тема Дроби
задача
Номер 05.018

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .