Информация о задаче

Задача 60856

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b, c — различные простые числа. Докажите, что числа $\sqrt{a}$ , $\sqrt{b}$ , $\sqrt{c}$ не могут быть членами одной арифметической прогрессии.

Решение

Если числа $\sqrt{a}$ , $\sqrt{b}$ , $\sqrt{c}$ являются членами одной арифметической прогрессии, то для некоторых целых p и q будет выполняться равенство q( $\sqrt{b}$ - $\sqrt{a}$ ) = p( $\sqrt{c}$ - $\sqrt{b}$ ) или $\sqrt{b}$ (p + q) = p $\sqrt{c}$ + q $\sqrt{a}$ . После возведения последнего равенства в квадрат получаем, что $\sqrt{ac}$ — рациональное число. Но это невозможно, поскольку a и c — различные простые числа.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	1
Название	Рациональные и иррациональные числа
Тема	Дроби
задача
Номер	05.018