Задача 60877

Темы:    [ Теорема Эйлера ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что если  (m, 10) = 1,  то существует репьюнит E_n, делящийся на m. Будет ли их бесконечно много?

Решение 1

По теореме Эйлера  9E_kφ(m) = 10^kφ(m) – 1 ≡ 0 (mod m)  при любом  k ≥ 1.  Если m не делится на 3, то  E_kφ(m) ≡ 0 (mod m).  Если же m делится на 3 или на 9, то на m делится число E_9kφ(m).

Решение 2

См. задачу 34968.

Ответ

Будет.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	2
Название	Десятичные дроби
Тема	Десятичные дроби
задача
Номер	05.039