ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60884
Тема:    [ Периодические и непериодические дроби ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
Название задачи: Эффект девяток.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Периодом дроби 1/7 является число  N = 142857.  Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток
142 + 857 = 999).  Докажите в общем случае, что для простого  q > 5  и натурального  p < q  период дроби p/q есть такое 2n-значное число  N = N1N2,  что  N1 + N2 = .


Решение

Пусть  t = 2n  – длина периода. Согласно задаче 670881, выполняется сравнение  10t ≡ 1 (mod q).  Отсюда  10n ≡ – 1 (mod q)  и  p/q + {10n·p/q} = 1.  Но в десятичной системе эти дроби имеют вид  p/q = 0,N1N2,   10n·p/q = 0,N1N2,  поэтому  N1 + N2 = .

Замечания

Утверждение верно только в случае, когда минимальный период дроби состоит из чётного числа цифр. Но это не всегда так. Например,  1/37 = 0,(027).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 5
Название Числа, дроби, системы счисления
Тема Системы счисления
параграф
Номер 2
Название Десятичные дроби
Тема Десятичные дроби
задача
Номер 05.046

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .