ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60885
Тема:    [ Периодические и непериодические дроби ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  Число  N = 142857  обладает и рядом других свойств. Например:  2·142857 = 285714,  3·142857 = 428571,  ..., то есть при умножении на 1, 2, 3, ..., 6 цифры циклически переставляются;  14 + 28 + 57 = 99;  N2 = 20408122449,  20408 + 122449 = 142857 = N.
  Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.


Решение

  При разложении 1/7 в десятичную дробь последовательность остатков устроена следующим образом:  r0 = 1,  r1 = 3,  r2 = 2,  r3 = 6,  r4 = 4,  r5 = 5,  r6 = 1,  ...
  Первое свойство объясняется равенствами  2·r0/7 = r2/7,  3·r0/7 = r1/7,  4·r0/7 = r4/7,  ...
  Объяснение второго свойства получается, если в равенстве  1/7 + 2/7 + 4/7 = 1  перейти к десятичной записи.
  Чтобы объяснить последнее свойство, запишем N в виде    Отсюда    Число, которое получается сложением половинок числа N2, будет периодом дроби   
  Так как  {142857/7} = 1/7 = 0,(142857),  то из половинок числа N2 получится число N.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 5
Название Числа, дроби, системы счисления
Тема Системы счисления
параграф
Номер 2
Название Десятичные дроби
Тема Десятичные дроби
задача
Номер 05.047

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .