Условие
Число N = 142857 обладает и рядом других свойств. Например: 2·142857 = 285714, 3·142857 = 428571, ..., то есть при умножении на 1, 2, 3, ..., 6 цифры циклически переставляются;
14 + 28 + 57 = 99; N2 = 20408122449, 20408 + 122449 = 142857 = N.
Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.
Решение
При разложении 1/7 в десятичную дробь
последовательность остатков устроена следующим образом: r0 = 1, r1 = 3, r2 = 2, r3 = 6, r4 = 4, r5 = 5, r6 = 1, ...
Первое свойство объясняется равенствами 2·r0/7 = r2/7, 3·r0/7 = r1/7, 4·r0/7 = r4/7, ...
Объяснение второго свойства получается, если в равенстве
1/7 + 2/7 + 4/7 = 1 перейти к десятичной записи.
Чтобы объяснить последнее свойство, запишем N в виде
Отсюда 
Число, которое получается сложением половинок числа N2, будет периодом дроби 
Так как {142857/7} = 1/7 = 0,(142857), то из половинок числа N2 получится число N.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
|
Год издания |
2002 |
|
Название |
Алгебра и теория чисел |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
1 |
|
глава |
|
Номер |
5 |
|
Название |
Числа, дроби, системы счисления |
|
Тема |
Системы счисления |
|
параграф |
|
Номер |
2 |
|
Название |
Десятичные дроби |
|
Тема |
Десятичные дроби |
|
задача |
|
Номер |
05.047 |
