Задача 60888

Темы:    [ Периодические и непериодические дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Обозначим через  L(m)  длину периода дроби   ¹/_m. Докажите, что если  (m₁, 10) = 1  и  (m₂, 10) = 1,  то справедливо равенство  L(m₁m₂) = [L(m₁), L(m₂)].
Чему равна длина периода дроби  ¹/_m1 + ¹/_m2?

Замечания

Это утверждение неверно. Например,  m₁ = m₂ = 7,  [L(m₁), L(m₂)] = 6,  но  L(49) ≠ 6.  Исходное утверждение верно, если  (m₁, m₂) = 1.  В общем же случае правильная формулировка такова:  L([m₁, m₂]) = [L(m₁), L(m₂)].  Это следует из задачи 60881. Действительно,  10^{[L(m₁), L(m₂)]} – 1  делится как на m₁, так и на m₂, а значит, и на  [m₁, m₂].  С другой стороны, длина периода дроби  ¹/_{[m1, m2]}  кратна как L(m₁), так и L(m₂).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	2
Название	Десятичные дроби
Тема	Десятичные дроби
задача
Номер	05.050