Задача 60889

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Десятичные дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Найдите все шестизначные числа, которые уменьшаются втрое при перенесении последней цифры на первое место.

Решение 1

  Пусть  abcdef = 3·fabcde.  Рассмотрим число α, которое разлагается в периодическую десятичную дробь с периодом abcdef:  α = 0,(fabcde) = ¹/₃·0,(abcdef).  Тогда  10α = f,(abcdef) = f + 3α.  Отсюда  α =  ^f/₇.  Остается перебрать различные значения  f.

Решение 2

  Запишем условие в виде  10a + b = 3(10⁵b + a),  где a – пятизначное число, b – последняя цифра шестизначного числа. Отсюда  299999b = 7a,  42857b = a.
  Проверкой убеждаемся, что оба возможных значения  b = 1, 2  подходят.

Ответ

428571 и 857142.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	2
Название	Десятичные дроби
Тема	Десятичные дроби
задача
Номер	05.051