Задача 61279

Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Тригонометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

а) Докажите, что при  4p³ + 27q² < 0  уравнение  x³ + px + q = 0  заменой  x = αy + β  сводится к уравнению ay³ – 3by² – 3ay + b = 0    (*)
от переменной y.

б) Докажите, что решениями уравнения (*) будут числа   y₁ = tg ,   y₂ = tg ,   y₃ = tg ,   где φ определяется из условий:
sin φ = ,   cos φ = .

Решение

  а) После замены мы получим уравнение  α³y³ + 3α²βy² + α(3β² + p)y + β³ + pβ + q = 0.  Должны выполняться условия  3β² + p = – 3α²  и
α²β = – β³ – pβ – q,  откуда  3β³ + 3pβ + 3q = 3β³ + pβ,  

  б)     В силу формулы     при подстановке в уравнение любого из чисел y₁, y₂, y₃ получаем верное равенство.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Уравнения третьей степени
Тема	Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер	09.028