Задача 61370

Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите неравенство   (a + b + c + d + 1)² ≥ 4(a² + b² + c² + d²)  при  a, b, c, d ∈ [0, 1].

Решение

Можно считать, что  a ≥ b ≥ c ≥ d.  Тогда
(a + b + c + d + 1)² = (a² + b² + c² + d²) + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) + 2(a + b + c + d) + 1 ≥
≥ (a² + b² + c² + d²) + 2(b² + c² + d² + c² + d² + d²) + 2(a² + b² + c² + d²) + a² ≥ 4(a² + b² + c² + d²).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	1
Название	Различные неравенства
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.019
книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	16
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	081