ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61378
Тема:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   2(a³ + b³ + c³) ≥ ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c).


Подсказка

Докажите сначала неравенство  a³ + b³ ≥ a²b + ab².


Решение

a³ + b³ – ab(a + b) = (a + b)(a² – 2ab + b²) = (a + b)(a – b)² ≥ 0.  Сложив три таких неравенства, получим требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 1
Название Различные неравенства
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.027

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .