ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61385
Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Инварианты и полуинварианты ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если   a1a2 ≥ ... ≥ an,   b1b2 ≥ ... ≥ bn,   то наибольшая из сумм вида   a1bk1 + a2bk2 + ... + anbkn     (k1, k2, ..., kn – перестановка чисел
1, 2, ..., n),  это сумма   a1b1 + a2b2 + ... + anbn,   а наименьшая – сумма   a1bn + a2bn–1 + ... + anb1.


Решение

  Заметим, что если  xy,   zw  , то   xz + ywxw + yz.   Действительно,   (xz + yw) – (xw + yz) = (xy)(zw) ≥ 0.
  Рассмотрим в сумме   a1bk1 + a2bk2 + ... + anbkn   член ajb1, содержащий множитель b1. Если  j > 1,  то, заменив   aj–1bkj–1 + ajb1   на   aj–1b1 + ajbkj–1,   мы не уменьшим сумму. Так можно продолжать, пока множитель b1 не перейдёт в первое слагаемое. Затем поступим так же с множителем b2 и т. д. В конце концов мы превратим нашу сумму в   a1b1 + a2b2 + ... + anbn,   не уменьшив её.
  Аналогично доказывается, что сумма   a1bn + a2bn–1 + ... + anb1   – наименьшая.

Замечания

Обычно утверждение задачи называют транснеравенством.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: "АСА"
Издание 1
глава
Номер 16
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер 047
книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 1
Название Различные неравенства
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.034

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .