ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61406
Тема:    [ Выпуклость и вогнутость ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x1, x2 из [a;b] и любых положительных $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$ таких, что $ \alpha_{1}^{}$ + $ \alpha_{2}^{}$ = 1 выполняется неравенство:

f$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$x2$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$f (x2).



Решение

Пусть l (x) — касательная к графику функции f (x) в точке $ \alpha_{1}^{}$x1 + $ \alpha_{2}^{}$x2. Тогда, по определению выпуклости,

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$f (x2) < $\displaystyle \alpha_{1}^{}$l (x1) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$l (x2) = l$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$x2$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ = f$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$x2$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 3
Название Выпуклость
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.055

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .