Информация о задаче

Задача 61406

Тема:

[

Выпуклость и вогнутость

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x₁, x₂ из [a;b] и любых положительных $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ таких, что $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ = 1 выполняется неравенство:

f $\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$ $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ x₂ $\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ f (x₁) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ f (x₂).

Решение

Пусть l (x) — касательная к графику функции f (x) в точке $\alpha_{1}^{}$ x₁ + $\alpha_{2}^{}$ x₂. Тогда, по определению выпуклости,

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ f (x₁) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ f (x₂) < $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ l (x₁) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ l (x₂) = l $\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$ $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ x₂ $\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ = f $\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$ $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ x₂ $\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	3
Название	Выпуклость
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.055