Информация о задаче

Задача 61457

Тема:

[

Функции нескольких переменных

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
Название задачи: Дискретная теорема Лиувилля.

Прислать комментарий

Условие

Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f (x, y) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче 11.28) функция, то есть существует положительная константа M такая, что

$\displaystyle \forall$ (x, y) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$ ² | f (x, y)| $\displaystyle \leqslant$ M.

Докажите, что функция f (x, y) равна константе.

Решение

Рассмотрим функции

$\displaystyle \Delta_{x}^{}$ f (x, y) = f (x + 1, y) - f (x, y) и $\displaystyle \Delta_{y}^{}$ f (x, y) = f (x, y + 1) - f (x, y),

которые также будут ограниченными и гармоническими. Пусть функция $\Delta_{x}^{}$ f (x, y) не равна нулю тождественно. Допустим, что M = $\sup_{(x,y)\in\mathbb{Z}^2}^{}$ $\displaystyle \Delta_{x}^{}$ f (x, y). Тогда на плоскости $\mathbb {Z}$ ² можно найти квадрат K сколь угодно большого размера (n×n), что $\Delta_{x}^{}$ f (x, y) > M/2 для всех точек K. Отсюда следует, что функция f (x, y) возрастет при движении внутри K параллельно оси Ox по крайней мере на M^.n/2. Но это противоречит ограниченности f (x, y).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	1
Название	Конечные разности
Тема	Последовательности (прочее)
задача
Номер	11.030