Задача 61460

Тема:    [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {a_n} имеет два различных корня x₁ и x₂. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

a_n = c₁x₁ⁿ + c₂x₂ⁿ        (n = 0, 1, 2,...).

Решение

Согласно задаче 11.32 , последовательности {a_n} = c_ix_iⁿ    (i = 1, 2) для любых c₁, c₂ являются решениями уравнения (11.2 ), поэтому их сумма будет удовлетворять тому же уравнению. С другой стороны, числа c₁, c₂ можно подобрать так, чтобы a₀ = c₁ + c₂, a₁ = c₁x₁ + c₂x₂. После этого получается, что две последовательности {a_n} и {c₁x₁ⁿ + c₂x₂ⁿ} удовлетворяют одному и тому же уравнению и имеют одинаковые начальные условия. Согласно задаче 11.31 , они совпадают.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	2
Название	Рекуррентные последовательности
Тема	Рекуррентные соотношения
задача
Номер	11.033