ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61463
Темы:    [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
[ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При возведении числа  1 + в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
  (1 + )1 = 1 + = + ,   (1 + )2 = 3 + 2 = + ,   (1 + )3 = 7 + 5 = + ,   (1 + )4 = 17 + 12 = + .
Для их изучения определим числа an и bn при помощи равенства  (1 + )n = an + bn,  (n ≥ 0).
  а) Выразите через an и bn число  (1 – )n.
  б) Докажите равенство  
  в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности {an} и {bn}?
  г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для последовательностей {an} и {bn}.
  д) Найдите связь между числами an, bn и подходящими дробями к числу .


Решение

  б)  
  в) Из равенства  (an + bn)(1 + ) = (an+1 + bn+1)  находим, что числа an и bn удовлетворяют рекуррентным соотношениям  an+1 = an + 2bn,
bn+1 = an + bn.  Отсюда  an+2 = 2an+1 + an = 0,  bn+2 = 2bn+1 + bn = 0  (n ≥ 0).
  д) См. задачу 60618.


Ответ

а)   (1 – )n = an – bn;   в)  an+2 = 2an+1 + anbn+2 = 2bn+1 + bn;
г)   an = ½ ((1 + )n + (1 – )n),  bn = ((1 + )n – (1 – )n);   д)   Pn/Qn = an+1/bn+1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 2
Название Рекуррентные последовательности
Тема Рекуррентные соотношения
задача
Номер 11.036

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .