Задача 61473

Темы:    [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Линейные рекуррентные соотношения ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 9,10,11 Название задачи: Лягушка-путешественница.

Условие

Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.
Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыжков?

Решение

  Пусть a_n – число способов вернуться за n прыжков в исходную вершину, а b_n – попасть за n прыжков в соседнюю вершину. Легко видеть, что  a_n+1 = 2b_n,  b_n+1 = a_n + b_n.  Отсюда нетрудно вывести, что  b_n+2 = b_n+1 + 2b_n,  a_n+2 = a_n+1 + 2a_n.
  Из начальных условий  a₀ = 1,  a₁ = 0,  получаем    (это нетрудно доказать по индукции).

Ответ

  способами.

Замечания

1. См. также задачу 61474.

2. Общий подход к решению рекуррентных уравнений см. в задаче 61458.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	2
Название	Рекуррентные последовательности
Тема	Рекуррентные соотношения
задача
Номер	11.046