ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61473
Темы:    [ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 9,10,11
Название задачи: Лягушка-путешественница.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.
Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыжков?


Решение

  Пусть an – число способов вернуться за n прыжков в исходную вершину, а bn – попасть за n прыжков в соседнюю вершину. Легко видеть, что  an+1 = 2bnbn+1 = an + bn.  Отсюда нетрудно вывести, что  bn+2 = bn+1 + 2bnan+2 = an+1 + 2an.
  Из начальных условий  a0 = 1,  a1 = 0,  получаем    (это нетрудно доказать по индукции).


Ответ

  способами.

Замечания

1. См. также задачу 61474.

2. Общий подход к решению рекуррентных уравнений см. в задаче 61458.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 2
Название Рекуррентные последовательности
Тема Рекуррентные соотношения
задача
Номер 11.046

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .