ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61481
Темы:    [ Текстовые задачи (прочее) ]
[ Итерации ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?


Решение

Добавим мысленно к кокосовым орехам четыре грецких. Теперь каждый моряк убирает из кучи ровно пятую часть орехов и оставляет в мешке 4/5 (4 грецких ореха всегда остаются в куче). Такие действия проделывались пять раз, значит, в мешке из n исходных орехов осталось  (4/5)5·n,  из которых  (4/5)5·n – 4  – кокосовые. Наименьшее n, при котором это число целое, – 55. Тогда в куче осталось  45 – 4 = 4(4² – 1)(4² + 1) = 4·15·17  орехов. Это число кратно 5, так что моряки могли поделить оставшиеся орехи поровну.


Ответ

55 – 4  ореха .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 2
Название Рекуррентные последовательности
Тема Рекуррентные соотношения
задача
Номер 11.054

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .